有如下几个命题:①若sin2A=sin2B,则△ABC是等腰三角形;②函数y=s...

有如下几个命题:①若sin2A=sin2B,则△ABC是等腰三角形;②函数y=sinx+4sinx(0<x<π)最小值为4;③等差数列{an}和{bn}前n项和分别为Sn... 有如下几个命题: ①若sin2A=sin2B,则△ABC是等腰三角形; ②函数y=sinx+4sinx(0<x<π)最小值为4; ③等差数列{an}和{bn}前n项和分别为Sn和Tn,且SnTn=2n3n+1,则a5b5=914; ④若{an}是等差数列,首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003•a2004<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4006; 其中正确命题的个数是(  )A.0B.1C.2D.3 展开
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井理后凝梦
2020-03-16 · TA获得超过3638个赞
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解:①若sin2A=sin2B,则
2A=2B,或
2A+2B=π,即A=B
或C=π2,故△ABC为等腰三角形或直角三角形,故①不正确;
②当x∈(0,π)时,0<sinx≤1,而函数y=sinx+4sinx≥2sinx•4sinx=4,其等号成立的条件是sinx=2∉(0,1],故它的最小值不为4,
事实上,令sinx=t(0<t≤1),则y=t+4t,导数y′=1-4t2<0,故(0,1]是减区间,当t=1时,y取得最小值,且为5.故②不正确;
③由于数列{an}和{bn}均为等差数列,则a5b5=2a52b5=a1+a9b1+b9=92(a1+a9)92(b1+b9)=S9T9,
又前n项和分别为Sn和Tn,且SnTn=2n3n+1,故有S9T9=2×93×9+1=914.故③正确;
④由于{an}是等差数列,首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003•a2004<0,
所以a2003>0,a2004<0,公差小于0,又a1+a4006=a2+a4005=…=a2003+a2004,
故S4006=40062×(a1+a4006)>0,S4007=40072(a1+a4007)=4007•a2004<0,
即使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4006.故④正确.
故选:C.
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