Question

已知直线L过点P（3，2），且与x轴 ，y轴的正半轴分别交于点A（a，0）和B（0，b），O是坐标原点。

（1）当三角形ABC的面积最小时，求直线L的方程；
（2）当a+b取得最小值时，求直线L的方程。
最好要用截距式来做，多谢啦。。。

Answer 1

解：由已知直线L过点P（3，2），设直线L的方程为y-2=k(x-3)（k<0）
则 a=3-2/k b=2-3k
(1)三角形ABO的面积S(ABO)
=(1/2)(3-2/k)(2-3k)
=(1/2)(-9k-4/k+12)
因为k<0 所以-9k>0 -4/k>0
当且仅当-9k=-4/k即k=-2/3时，三角形ABO的面积取最小值，MinS(ABO)=12
此时直线L的方程为y-2=(-2/3)(x-3)即y=-2x/3+4

(2)a+b=(3-2/k)+(2-3k)=5-2/k-3k
因为k<0 所以-2/k>0 -3k>0
当且仅当-2/k=-3k即k=-(根号6)/3时
a+b取最小值，最小值为（5+2*根6）
此时直线L的方程为y-2=(-根6/3)(x-3)即y=-(根6)x/3+根6+2
(供参考)

Answer 2

（1）设 y＝kx+b 带入p（3，2） 得 y=kx+2-3k 分别另 y=0 求x表达式 另x=0 ，求y表达式 两个相乘 再乘上二分之一 就是三角型面积了 （里面只剩k这个字母了） 配平方式 求最小值时k的值 即得。

追问

我是说用截距式(x/a+y/b=1)，不用k来做，可以吗

Answer 3

解：由已知直线L过点P（3，2），设直线L的方程为y-2=k(x-3)（k<0）
则 a=3-2/k b=2-3k
(1)三角形ABO的面积S(ABO)
=(1/2)(3-2/k)(2-3k)
=(1/2)(-9k-4/k+12)
因为k<0 所以-9k>0 -4/k>0
当且仅当-9k=-4/k即k=-2/3时，三角形ABO的面积取最小值，MinS(ABO)=12
此时直线L的方程为y-2=(-2/3)(x-3)即y=-2x/3+4

(2)a+b=(3-2/k)+(2-3k)=5-2/k-3k
因为k<0 所以-2/k>0 -3k>0
当且仅当-2/k=-3k即k=-(根号6)/3时
a+b取最小值，最小值为（5+2*根6）
此时直线L的方程为y-2=(-根6/3)(x-3)即y=-(根6)x/3+根6+2
(供参考)