Question

已知抛物线y=x*x上两点A,B(A在第二象限),O为原点,OA垂直于AB,当B点距y轴最近时

已知抛物线y=x*x上两点A,B(A在第二象限),O为原点,OA垂直于AB,当B点距y轴最近时,三角形OAB的面积S。 求 详解

Answer 1

抛物线y=x*x上两点A,B(A在第二象限)
令A（-m，m^2），其中m＞0
kOA=m^2/(-m)=-m
OA垂直于AB
kAB=-1/kOA=1/m
AB所在直线方程：y-m^2=1/m (x+m)，即y=1/m x + (m^2+1)，代入y=x^2
x^2=1/m x + (m^2+1)，
mx^2-x-m(m^2+1) = 0
(x+m)(mx-m^2-1)=0
x1=-m，x2=(m^2+1)/m=m+1/m=(√m-1/√m)^2+2≥2
当m=1时，B点距离y轴距离最近，距离为2
此时xA=-m=-1，yA=(-1)^2=1；xB=2，yB=2^2=4
OA=√{(-1)^2+1^2}=√2
OB=√(2^2+4^2)=2√5
S△OAB=1/2*OA*OB=1/2*√2*2√5=√10