Question

已知函数f(x)=√3(cos²x-sin²x)-2sinxcosx。⑴求f(x)的最小正周期及方乘

f(x)=√3在x∈[0，2π]上的解；⑵设x∈[0，π]，求f(x)的值域和单调区间

Answer 1

f(x)=√3(cos²x-sin²x)-2sinxcosx
= √3cos2x-sin2x
= 2｛cos2xcosπ/6-sin2xsinπ/6)
= 2cos(2x+π/6)
最小正周期 2π/2 = π

x∈[0，2π]时
2x∈[0，4π]
2x+π/6∈[π/6，4π+π/6]
f(x)=2cos(2x+π/6)=√3

cos(2x+π/6)=√3/2
2x+π/6 = π/6，2π-π/6，2π+π/6，4π-π/6，4π+π/6
2x = 0，2π-π/3，2π，4π-π/3，4π
x = 0，π-π/6，π，2π-π/6，2π

x∈[0，π]时
2x∈[0，2π]
2x+π/6∈[π/6，2π+π/6]
2cos(2x+π/6)属于【-1，1】

2x+π/6属于（π，2π）时单调增；2x+π/6属于（π/6，π）U（2π，2π+π/6）时单调减
∴单调增区间：（5π/12，11π/12）；单调减区间：（0，5π/12）U （11π/12，π）