Question

大学高数 求微分方程yy''+y'²=y'的通解？

大学高数 求微分方程yy''+y'²=y'的通解

Answer 1

解:微分方程为yy"+y'²=y'，化为yy"=y'(1-y')，y"/(y'-1)=-y'/y，ln|y'-1|=-ln|y|+ln|c|(c为任意非零常数)，有y'-1=c/y，y'=(c+y)/y，y'y/(y+c)=1，ydy/(y+c)=dx，dy-cdy/(y+c)=dx，微分方程的通解为y-cln|y+c|=x+a(a为任意常数)

Answer 2

取p=y', y'' = dy'/dx = dy'/dy dy/dx = pdp/dy
y pdp/dy +p^2 = p
ydp/dy + p =1
dp/(1-p) = dy/y
ln(1-p)=lny +C
1-p = cy
p = 1-cy
y' = 1-cy
y' +cy =1
特解y =1/c
线性方程通解 y=c2 e^(cx)

所以方程通解为y= c2 e^(cx) + 1/c

Answer 3

这道题需要用高阶微分方程降阶法，需要把y的三次阶和y的二次阶进行降阶处理和不断微分，积分得到结果y=8/15(2x+C1)^(5/2)+C2x+C3，具体详细步骤见下图。望采纳，谢谢。