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解:微分方程为yy"+y'²=y',化为yy"=y'(1-y'),y"/(y'-1)=-y'/y,ln|y'-1|=-ln|y|+ln|c|(c为任意非零常数),有y'-1=c/y,y'=(c+y)/y,y'y/(y+c)=1,ydy/(y+c)=dx,dy-cdy/(y+c)=dx,微分方程的通解为y-cln|y+c|=x+a(a为任意常数)
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取p=y', y'' = dy'/dx = dy'/dy dy/dx = pdp/dy
y pdp/dy +p^2 = p
ydp/dy + p =1
dp/(1-p) = dy/y
ln(1-p)=lny +C
1-p = cy
p = 1-cy
y' = 1-cy
y' +cy =1
特解y =1/c
线性方程通解 y=c2 e^(cx)
所以方程通解为y= c2 e^(cx) + 1/c
y pdp/dy +p^2 = p
ydp/dy + p =1
dp/(1-p) = dy/y
ln(1-p)=lny +C
1-p = cy
p = 1-cy
y' = 1-cy
y' +cy =1
特解y =1/c
线性方程通解 y=c2 e^(cx)
所以方程通解为y= c2 e^(cx) + 1/c
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这道题需要用高阶微分方程降阶法,需要把y的三次阶和y的二次阶进行降阶处理和不断微分,积分得到结果y=8/15(2x+C1)^(5/2)+C2x+C3,具体详细步骤见下图。望采纳,谢谢。
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