Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．求：二面角A-PD-C的余弦值
（用空间向量方法）

Answer 1

以A为原点，AB、AD、AP为X轴、Y轴、Z轴建立空间坐标系。
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1/2，√3/2，0），D（0，2√3/3，0），P（0，0，1），
E（1/4，√3/4，1/2），
设平面PDC的法向量n1=（x1,y1,1),
向量PD=（0，2√3/3，-1），向量PC=（1/2，√3/2，-1），
向量PD·n1=2y1√3/3-1=0,
y1=√3/2，
向量PC·n1=x1/2+√3y1/2-1=0,
x1/2=1/4,
x1=1/2,
i法向量n1=(1/2，√3/2，1），
而AB⊥平面PAD，
∴向量AB是平面PAD的法向量，
向量AB=（1，0，0），
向量AB·n1=1/2,
|AB|=1,
|n1|=√2，
设向量AB和n1所成角为θ，
cosθ=AB·n1/(|AB|*|n1|)=(1/2)/(√2*1）=√2/4，
∴二面角A-PD-C的余弦值为√2/4。
可以不用向量法，在底面作CM⊥AD，垂足M，在平面PAD止作MN⊥PD，连结CN，则〈CNM就是二面角A-PD-C的平面角，
MC=1/2，MN=√7/14，
NC=√14/7，
cos<CNM=MN/NC=(√7/14)/(√14/7)=√2/4。