Question

数学题，追加100

如图1，抛物线y=ax方+bx+c（a≠0）的顶点为C（1,4），交x轴于A,B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。
（1）求抛物线的解析式。
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，叫y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D,G,H,F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G，H的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）将抛物线化成顶点式y=a[x+b/(2a)]^2+(4ac-b^2)/4a ∵抛物线的顶点为C（1,4）B的坐标为（3，0）
则-b/(2a)=1
(4ac-b^2)/4a=4
9a+3b+c=0
解得a=-1 b=2 c=3
y=-x^2+2x+3
则A(-1,0) B(3,0) D(0,3) F(0,1)
直线AE为y=x+1
E(2,3)
由题意可知DG=GE那么如果G点位置一定，则只剩下FH与GH长度不确定，先将G点位置随便定下来，主要看H点随G点的变化而变化，则四边形的周长为EG+GH+FH+DF，因为想要让EG+GH+FH+DF最小，则固定G后先让GH+FH最小，则做出G关于x轴的对称点G'，不难看出当F，H，G'三点共线时FH+GH最小，又因为EG+GH=DG+GH，所以不难看出当E，G，H三点共线时DG+GH最小则将问题转化为：在x轴上找一点H使FH+EH值最小，则做出E点关于x轴的对称点为E'(2,-3)则连FE'与x轴交与H，可以看出两点之间线段最短，既FE'=FH+E'H最短，直线FE'为y=-2x+1与x轴交点即为所求H点，则当y=0时x=1/2,则存在H(1/2,0)，接下来求G点坐标，因为G在PQ上，且当E，G，H三点共线时DG+GH最小(别忘了EG=DG)，连EH交PQ与一点，该点为所求的G点通过E点与H点写出直线EH为y=2x-1，当x=1时 y=1，则G点坐标为(1,1)，则DG+GH+FH+DF最小值为（2+2倍根号5 ）

追问

能不能把顺序捋一捋，蒙了，怎么确定G的，确定G时H不就出来了么，后面又重新确定，不俩H了么。？？？ 方便画下图。

追答

嗯，先问一下答案是不是这个？
好吧，其实这是我当时做题的思路，答案顺序调一下，先找到H点，方法如下：要在x轴上找一点H使FH+EH值最小，则做出E点关于x轴的对称点为E'(2,-3)则连FE'与x轴交与H，可以看出两点之间线段最短，既FE'=FH+E'H最短，直线FE'为y=-2x+1与x轴交点即为所求H点，则当y=0时x=1/2,则存在H(1/2,0)
接下来找G点就是PQ与EH的交点
其实就这些但是一开始看不出来要这么做，所以要有我原答案中的思路，我原答案中的思路是想先假定一个G点，然后找到相应的H点，但此时发现，此时的和不是最小，所以你就还得调G点的位置，那么H也随G的改变而改变，直到找到最小的和为止，那么你就要考虑到底什么时候最小，想到了用轴对称来找最小值，而且根据两边之和大于第三边，来确定H，根据两点之间线段最短发现当E,G,H（EG=DG)三点共线时EH最短,通过以上思路决定这么做。
如图