Question

（10分）在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为 上点，BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于E．

（10分）在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为 上点，BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于E．（1）求证△ABD为等腰三角形．（2）求证AC?AF＝DF?FE．

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Answer 1

（1）证法一：连CF、BF ∠ACD=∠MCD=∠CDB＋∠CBD=∠CFB＋∠CFD=∠DFB 而∠ACD=∠DFB=∠DAB又∠ACD=∠DBA ∴∠DAB=∠DBA   ∴△ABD为等腰三角形  ……（4分） 证法二： 由题意有∠MCD=∠ACD =∠DBA,又∠MCD+∠BCD=∠DAB+∠BCD=180°, ∴∠MCD=∠DAB，∴∠DAB=∠DBA即△.ABD为等腰三角形    ……（4分） （2）由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC， ∴弧CD=弧DF,∴弧CD=弧DF……①                     ……（5分） 又BC=AF,∴∠BDC=∠ADF,∠BDC＋∠BDA=∠ADF＋∠BDA，即∠CDA=∠BDF， 而∠FAE＋∠BAF=∠BDF＋∠BAF=180°，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA， 同理∠DCA=∠AFE                                    ……（8分） ∴在△CDA与△FDE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE ∴△CDA∽△FAE ∴,即CD·EF=AC·AF，又由①有AC·AF=DF·EF 命题即证                                             ……（10分）

略