Question

在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）．设曲线C上任意一点P（x，y）满足|PA|=

在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）．设曲线C上任意一点P（x，y）满足|PA|=λ|PB|（λ＞0且λ≠1）．（1）求曲线C的方程，并指出此曲线的形状；（2）对λ的两个不同取值λ1，λ2，记对应的曲线为C1，C2．（i）若曲线C1，C2关于某直线对称，求λ1，λ2的积；（ii）若λ2＞λ1＞1，判断两曲线的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）由题意得

(x+1)2+y2

＝λ

(x?1)2+y2

，
两边平方并整理，得曲线C的方程为：
（λ²-1）x²+（λ²-1）y²-2（λ²+1）x+λ²-1=0，
∵λ＞0，且λ≠1，∴曲线C的方程可化为：
（x-

λ2+1

λ2?1

）²+y²=（

2λ

λ2?1

）²，
∴曲线C是以（

λ2+1

λ2?1

，0）为圆心，

2λ

|λ2?1|

为半径的圆．
（2）（i）由（1）知曲线c_i（i=1，2）是圆，
设圆心O_i（

λi2+1

λi2?1

，0），半径ri＝

2λi

|λi2?1|

．
当两圆关于某直线对称时，r₁=r₂，
即

2λ1

|λ12?1|

＝?

2λ2

|λ22?1|

，
∵λ₁≠λ₂，∴

2λ1

λ12?1

＝?

2λ2

λ22?1

，
整理，得（λ₁λ₂-1