Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：△

如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：△ABE≌△CAF；（2）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，试探索EF、BE、CF三条线段的关系；（3）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求FE长．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAF=90°．
∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∴∠FAC+∠ACF=90°，
∴∠BAE=∠ACF．
在△ABE和△CAF中

∠BAE＝∠ACF ∠AEB＝∠CFA AB＝CA

∴△ABE≌△CAF（AAS）；

（2）EF=BE=CF．理由：
证明：∵△ABE≌△CAF，
∴AE=CF，BE=AF．
∵EF=AE+AF，
∴EF=CF+BE；

（3）解：如图2，∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠CAF=90°．
∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∴∠FAC+∠ACF=90°，
∴∠BAE=∠ACF．
在△ABE和△CAF中，

∠BAE＝∠ACF ∠AEB＝∠CFA AB＝CA

，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，AE=CF．
∵EF=AF-AE，
∴EF=BE-CF=10-3=7．
答：EF的长为7．

Answer 2

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