如图:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O、O1分别是AC、A1C1的中点,E是线段D1O上一点,且D1E=λEO(λ≠0).
如图:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O、O1分别是AC、A1C1的中点,E是线段D1O上一点,且D1E=λEO(λ≠0).(Ⅰ)求证:λ取不等于0的任何值时都有B...
如图:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O、O1分别是AC、A1C1的中点,E是线段D1O上一点,且D1E=λEO(λ≠0).(Ⅰ)求证:λ取不等于0的任何值时都有BO1∥平面ACE;(Ⅱ)λ=2时,证明:平面CDE⊥平面CD1O.
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窝窝小夜lh
推荐于2016-12-01
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知道答主
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解答:
证明:(I)由题意,O、O
1分别是AC、A
1C
1的中点,
∴四边形D
1O
1BO是平行四边形,
∴BO
1∥OD
1∴BO
1∥OE
∵OE?平面ACE,BO
1?平面ACE,
∴λ取不等于0的任何值时都有BO
1∥平面ACE;
(Ⅱ)
不妨设正方体的棱长为1,以DA,DC,DD
1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则可得D(0,0,0),B
1(1,1,1),O
(,,0),C(0,1,0),D
1(0,0,1)
∴
=(1,1,1),
=(0,-1,1),
=
(?,,0)∴
?=0,
?=0
∴DB
1⊥CD
1,DB
1⊥OC
∴平面CD
1O的一个法向量为
=(1,1,1),
∵λ=2,∴E(
,,)
又设平面CDE的法向量为
=(x,y,z)
∵
=(0,1,0),
=(
,,)
∴
∴可取
=(1,0,-1)
∴
?=0∴平面CDE⊥平面CD
1O.
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