Question

已知曲线y＝13x3+43，（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；（3

已知曲线y＝13x3+43，（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；（3）求斜率为4的曲线的切线方程．

Answer 1

（1）∵P（2，4）在曲线y＝

1

3

x3+

4

3

上，且y'=x²
∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y'|_x=2=4；
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0．
（2）设曲线y＝

1

3

x3+

4

3

与过点P（2，4）的切线相切于点A（x₀，

1

3

x03+

4

3

），
则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x02，
∴切线方程为y-（

1

3

x03+

4

3

）=x₀²（x-x₀），
即y＝

x

2 0

?x?

2

3

x

3 0

+

4

3

∵点P（2，4）在切线上，
∴4=2x₀²-

2

3

x03+

4

3

，即x₀³-3x₀²+4=0，
∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，
∴（x₀+1）（x₀-2）²=0
解得x₀=-1或x₀=2
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0．
（3）设切点为（x₀，y₀）
则切线的斜率为k=x₀²=4，x₀=±2．切点为（2，4），（-2，-

4

3

）
∴切线方程为y-4=4（x-2）和y+

4

3

=4（x+2）
即4x-y-4=0和12x-3y+20=0．