Question

在四边形ABCD中,已知∠BAC=30°,∠ADC=150°，且AB=DB,证明：AC平方∠BCD

Answer 1

证明：作点B关于AC的对称点E，连接AE、BE、DE，
则△ABE为正三角形，AB=BE，
∵AB=BD，∴BE=BD，
设∠EBD=α，则∠ABD=60°+α，∠BED=1/2(180°-α)=90°-1/2α，
∴∠BAD=∠BDA=1/2(180°-∠ABD)=60°-1/2α，
∠EAD=1/2α，
∴∠ADE=180°-∠EAD-∠AED=180°-1/2α-(60°+90°-1/2α)=30°，
∴∠ADC+∠ADE=180°，C、D、E共线，
又AE=AB，∠CAE=∠CAB，AC=AC，
∴ΔACE≌ΔADB，
∴∠ACE=∠ACB，
即AC平分∠BCD。