Question

设a为实属，函数f（x）=e^2-2x+2a，x属于R 求证：a>ln2-1且x>0时，e^2>x^2-2ax+1

Answer 1

f'(x)=e^x-2>0，x>ln2
f(x)的极小值(也是最小值)是f(ln2)=2-2ln2+2a。
因为a>ln2-1，即f(ln2)=2-2ln2+2a>0，f(x)=e^x-2x+2a>0恒成立。
设F(x)=e^x-x^2+2ax-1，F'(x)=e^x-2x+2a=f(x)>0。
所以，F(x)为增函数。
当x>0时，F(x)>F(0)=0，即e^x-x^2+2ax-1>0，e^x>x^2-2ax+1。