Question

帮我解一道数学题高中题

Answer 1

1)
g'(x)=k/(x+1)
-(kx-1)/(x+1)²
=
[k(x+1)-(kx-1)]/(x+1)²
=
(k+1)/(x+1)²
g(x)为增函数,
g'(x)
>
0
所以(k+1)/(x+1)²
>0,
(1,+∞)
上(x+1)²>0,
所以只需k+1>0即可
k>1
2)
f(x)=e^g(x)<x+1,
x>0所以对两边取对数
g(x)<ln(x+1)
令t(x)=g(x)-ln(x+1)
=(kx-1)/(x+1)
-
ln(x+1)
原题化为t(x)<0
(x>0)
必要条件
<1>
t(0)<0,
t(0)
=
-1
-
0
=
-1<0,满足
<2>
t(x)为非增函数,
(x>0)
t'(x)
=
(k+1)/(x+1)²-1/(x+1)
=
(k-x)/(x+1)²
t'(x)<=0时是非增函数
所以若对任意x∈(0,+∞),有(k-x)<=0
只有k<=0
3)
数学归纳法
令左侧f(n),
右侧g(n)
n=1时,左侧=ln(1+1*2)=ln(3)>0
右侧=2*1-3
=
-1<0
所以左侧>右侧,
不等式成立.
假设n-1时成立(n>2)
f(n-1)>g(n-1)
则f(n)=f(n-1)+ln(1+n(n+1))
g(n)=2*n-3=2*(n-1)-3+2=g(n-1)+2
f(n)-g(n)=f(n-1)+ln(1+n(n+1))-(g(n-1)+2)
=
[f(n-1)-g(n-1)]+ln(1+n(n+1))-2
>
ln(1+n(n+1))-2
因为n>2,
所以ln(1+n(n+1))
>
ln(7)>2
所以f(n)-g(n)>0,
f(n)>g(n)
即只要f(n-1)>g(n-1),
恒有f(n)>g(n)
所以原不等式成立