Question

微积分：求证：y=(1+x)/(1+x^2)有位于同一直线上的三个拐点

是将拐点全部求出来吗？那样的话我求不出啊

Answer 1

证明：∵y=(1+x)/(1+x²)
∴y'=(1-2x-x²)/(1+x²)²
y''=2(x³+3x²-3x-1)/(1+x²)³
令x³+3x²-3x-1=0，得x1=1,x2=(1+√3)/4,x3=(1-√3)/4
经验算x1,x2,x3都是函数y的拐点，
这3个拐点的坐标分别是A(1,1),B(√3-2,(1+√3)/4),C(-√3-2,(1-√3)/4).
∵A,B两点的斜率=[(1+√3)/4-1]/[(√3-2)-1]=1/4
A,C两点的斜率=[(1-√3)/4-1]/[(-√3-2)-1]=1/4
∴A,B两点的斜率=A,C两点的斜率
∴A,B,C三点在同一直线上
故y=(1+x)/(1+x^2)有位于同一直线上的三个拐点。

Answer 2

y=(x-1)/(x^2+1),y'=(x^2+1-2x(x-1))/(x^2+1)^2=(-x^2+2x+1)/(x^2+1)^2
y''=[(-2x+2)(x^2+1)^2-(-x^2+2x+1)(2(x^2+1)*2x]/(x^2+1)^4
=[(2-2x)(x^2+1)-4x(-x^2+2x+1)]/(x^2+1)^3=(2x^2+2-2x^3-2x+4x^3-8x^2-4x}/(x^2+1)^3
=[2x^3-6x^2-6x+2)/(x^2+1)^3=2[(x+1)(x^2-x+1)-3x(x+1)]/(x^2+1)^3
=[2(x+1)(x^2-4x+1)]/(x^2+1)^3=0,
x1=-1,x2=2+根号3，x3=2-根号3
，
y1=-1,y2=(1+根号3)/4(2+根号3)=(根号3-1)/4,y3=(1-根号3）/4(2-根号3)=(-根号3-1)/4
(y2-y1)/(x2-x1)=[(根号3+3)/4]/[3+根号3]=1/4,(y3-y1)/(x3-x1)=[(-根号3+3)/4]/[3-根号3]=1/4
所以
曲线y=(x-1)/(x^2+1)有三个拐点，且这三个拐点位于同一直线上