Question

北京东城南片2011-2012高一数学期末考试题 填空第16题

如果看不清（见下）
设函数为f（x）=根号下ax²+bx+c（a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f（t））
---（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为——？
答案是a=-4. why?求详细解析

Answer 1

楼主，你好！很高兴为您解答。
本题中的s代表的是f(x)的整个定义域，而f(t)代表的是f(x)的整个值域
所有点（s，f（t））---（s，t∈D）构成一个正方形区域，
是指定义域的长度等于整个值域的长度
假设f(x)=0的两个解为x1,x2(x1<x2)
则定义域的长度为x2-x1
由于f（x）=√ax²+bx+c（a＜0）
所以f(x)≥0,且f(x)≤f(-b/2a)=√(4ac-b²)/4a
值域的长度为√(4ac-b²)/4a
因此，x2-x1=√(4ac-b²)/4a……①
由韦达定理得x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
所以，（x2-x1）²=(x1+x2)²-4x1x2=b²/a²-4c/a=(b²-4ac)/a²
因此，代入①得：
(4ac-b²)/4a=(b²-4ac)/a²
所以4a=-a²
解得a=-4
希望能够帮助到你，如有疑问请在追问中提出，谢谢！

Answer 2

图看的不是很清楚，“若所有点...”后面是什么？

追问

（s，f（t）） 注：s，t∈D

追答

呵呵，有点难度，不过我已经搞定了。
—————————
1、先求f(x)的定义域：
令g(x)=ax²+bx+c,
则f(x)=sqrt(g(x))
(注：sqrt是指开平方运算)

由于a<0,
所以g(x)=ax²+bx+c函数图像开口向下。
f(x)函数若成立，则g(x)必须≥0
即g(x)与x轴有两个不同交点，分别记作x1,x2。
根据二次函数求根公式可以计算出：
x1=[-b+sqrt(b²-4ac)] /(2a)
x2=[-b-sqrt(b²-4ac)] /(2a)
(因a<0所以有x1<x2)
区间D=[x1,x2] 即为f(x)函数的定义域。

2、计算f(x)函数的最大值和最小值（为叙述方便，以Max表示最大，Min表示最小。）
g(x)=ax²+bx+c
=a(x²+bx/a+(b/2a)²)+c-b²/4a
=a(x+b/2a)²+(4ac-b²)/4a
因a<0,所以当x=-b/2a时，Max(g(x))=(4ac-b²)/4a
则Max(f(x))
=sqrt(Max(g(x))
=sqrt((4ac-b²)/4a)

又因g(x)≥0,即g(x)最小值为0，所以
Min(f(x))
=sqrt(Min(g(x))
=sqrt(0)
=0

3、
若所有点（s，f（t））,（s，t∈D）构成一个正方形区域，
说明：
Max(横坐标s)-Min(横坐标s)＝正方形边长；
Max(纵坐标f(t))-Min(纵坐标f(t))＝正方形边长。
且两边长相等。

s∈D
即s∈[x1,x2]
所以Max(s)=x2,Min(s)=x1
Max(s)-Min(s)
=x2-x1
=[-b-sqrt(b²-4ac)] /(2a) - [-b+sqrt(b²-4ac)] /(2a)
=-sqrt(b²-4ac) /a

Max(f(t))=Max(f(x))=sqrt((4ac-b²)/4a)
Min(f(t))=Min(f(x))=0
所以
Max(f(t))-Min(f(t))
=sqrt((4ac-b²)/4a)

由边长相等，得：
-sqrt(b²-4ac) /a=sqrt((4ac-b²)/4a)
两边平方：
(b²-4ac) / a² = (4ac-b²) / 4a
a²=-4a
a=-4
——————————————
好麻烦的一题，在笔记本上打代数式真不方便。

Answer 3

问老师！