Question

一道超难初中数学题，请高手帮忙解决。

已知圆O的两条弦AB与CD互相垂直，垂足为P，若OP=2，CD方+AB方=56，（方就是平方），则圆O的半径为多少？答案为3。图形我画不出来，但是 交点P在圆的左下方，希望你能画出来，P和O相连。谢谢啊 ！

Answer 1

分别做圆心O到AB和CD的垂线，垂足为E和F。

连接AO,BO,CO,DO。

设圆的半径为r，则根据勾股玄定理，有：

r^2-(AB/2)^2=OE^2

r^2-(CD/2)^2=OF^2

由于AB与CD互相垂直，所以四边形EOFP为矩形，所以

OE^2+OF^2=OP^2

即

r^2-(AB/2)^2+r^2-(CD/2)^2=2^2

2r^2-(1/4)*(AB^2+CD^2)=4

解此方程得r=+3和-3

由于r是圆的半径，所以r=3.

Answer 2

过O做两条弦的垂线，分别设它们的长为a,b，设圆半径为r
因为OP=2，所以a^2+b^2=2^2=4
因为AB^2+CD^2=56
所以，4*(r^2-a^2)+4*(r^2-b^2)=56
r^2-a^2+r^2-b^2=14
2r^2=18
r^2=9
r=3