Question

已知过抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点，斜率为 的直线交抛物线于A（x 1 ，y 1 ）和B（x 2， y 2 ）（x 1

已知过抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点，斜率为 的直线交抛物线于A（x 1 ，y 1 ）和B（x 2， y 2 ）（x 1 ＜x 2 ）两点，且|AB|=9，（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若 ，求λ的值．

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Answer 1

解：（1）直线AB的方程是y=2 （x﹣ ），与y 2 =2px联立，有4x 2 ﹣5px+p 2 =0， ∴x 1 +x 2 = 由抛物线定义得：|AB|=x 1 +x 2 +p=9 ∴p=4， ∴抛物线方程是y 2 =8x． （2）由p=4，4x 2 ﹣5px+p 2 =0得：x 2 ﹣5x+4=0， ∴x 1 =1，x 2 =4，y 1 =﹣2 ，y 2 =4 ， 从而A（1，﹣2 ），B（4，4 ）． 设 =（x 3 ，y 3 ）=（1，﹣2 ）+λ（4，4 ）=（4λ+1，4 λ﹣2 ） 又[2 （2λ﹣1）]2=8（4λ+1）， 解得：λ=0，或λ=2．