Question

（2014?绍兴一模）如图，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点M（2，0）的动直线l与C相交于A，B两点．

（2014?绍兴一模）如图，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点M（2，0）的动直线l与C相交于A，B两点．过A，B分别作C的切线交于点Q，当AF与x轴垂直时，直线l的斜率为-2．（1）求抛物线C的方程；（2）当△AFB和△QFB的面积相等时，求直线l的方程．

Answer 1

（1）当AF与x轴垂直时，A（

p

2

，p），
又M（2，0），
则直线l的斜率k=

p

p 2 ?2

＝?2，解得：p=2．
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1＝

y12

4

，x2＝

y22

4

．
过点A（x₁，y₁）的切线的斜率为k₁，则切线方程为y＝k1(x?

y12

4

)+y1，
联立抛物线方程得，k1y2?4y+4y1?k1y12＝0．由△=16?4k1(4y1?k1y12)＝0，得k1＝

2

y1

．
故l_AQ：y＝

2

y1

(x?

y12

4

)+y1，即y₁y=2（x+x₁）．同理l_BQ：y₂y=2（x+x₂）．
联立方程组

y1y＝2(x+x1) y2y＝2(x+x2)

，得

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