Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=3，DE=4．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面AB

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=3，DE=4．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，
∵底面ABCD为正方形，∴CD⊥AD，
∵AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，
∵CD?平面ABCD，∴平面ADE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：过E点作EH⊥AD，垂足为H，连接BH
∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，又∵CD⊥AD，AE∩AD=A，
∴CD⊥平面ADE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，
∴EH⊥平面ABCD
所以∠EBH是直线BE与平面ABCD所成的角．
在RT△ADE中，AE=3，DE=4，∴AD=5，EH=2.4  
∵AB∥CD，∴AB⊥AE，∴BE=

34

，
∴sin∠EBH=

EH

BE

=

6 34

85

，
∴直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为

6 34

85

．