Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，λsinBsinC-1=cos2A-cos2B-cos2C

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，λsinBsinC-1=cos2A-cos2B-cos2C．（1）求角B的大小；（2）若△ABC为直角三角形，求实数λ的取值集合．

Answer 1

（1）因为（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，（1分）
所以2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA．（3分）
因为sinA≠0，所以cosB＝

1

2

． （4分）
因为B∈（0，π），所以B＝

π

3

．（6分）
（2）由已知条件λsinBsinC-1=cos²A-cos²B-cos²C（3）可得，sin²A=sin²B+sin²C-λsinBsinC，
根据正弦定理知：a²=b²+c²-λbc，所以

b2+c2?a2

2bc

＝

λ

2

．（8分）
再由余弦定理可得cosA＝

λ

2

，（9分）
因为B＝

π

3

，且三角形为直角三角形，所以A＝

π

6

 或A＝

π

2

，（10分）
所以cosA＝

3

2

或cosA=0，（11分）
所以λ的取值集合为{

3

，0}．（12分）