（2009?奉贤区二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点O和x轴上的另一点A，它的对称轴直线x=2
（2009?奉贤区二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点O和x轴上的另一点A，它的对称轴直线x=2与x轴交于点C，直线y=2x+1经过抛物线上一点B（...
（2009?奉贤区二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点O和x轴上的另一点A，它的对称轴直线x=2与x轴交于点C，直线y=2x+1经过抛物线上一点B（-2，m），且与y轴、直线x=2分别交于D、E．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求证：D是BE的中点；（3）若点P（x、y）是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点P，使得△PBE是以PE为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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（1）解：∵点B（-2，m）在直线y=2x+1上，
∴2×（-2）+1=m，
解得m=-3，
∴B（-2，-3），
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点O和x轴上的另一点A，它的对称轴直线x=2，
∴A（4，0），
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点O、A、B，
∴
，
解得
，
∴二次函数解析式为：y=-
x2+x；
（2）证明：∵直线y=2x+1与y轴、直线x=2分别交于D、E，
∴x=0时，y=1，
x=2时，y=2×2+1=5，
∴点D、E的坐标分别为：D（0，1）、E（2，5），
∴BD=
=2
，DE=
=2
∴2×（-2）+1=m，
解得m=-3，
∴B（-2，-3），
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点O和x轴上的另一点A，它的对称轴直线x=2，
∴A（4，0），
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点O、A、B，
∴
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解得
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∴二次函数解析式为：y=-
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（2）证明：∵直线y=2x+1与y轴、直线x=2分别交于D、E，
∴x=0时，y=1，
x=2时，y=2×2+1=5，
∴点D、E的坐标分别为：D（0，1）、E（2，5），
∴BD=
| (?2)2+(?3?1)2 |
| 5 |
| 22+(5?1)2 |
