Question

设函数f（x）=（x2+ax+b）ex（x∈R）．（1）若a=1，b=-1，求函数f（x）的极值；（2）若2a+b=-3，试确定f

设函数f（x）=（x2+ax+b）ex（x∈R）．（1）若a=1，b=-1，求函数f（x）的极值；（2）若2a+b=-3，试确定f（x）的单调性；（3）记g(x)＝|f(x)|ex，且g（x）在[-1，1]上的最大值为M，证明：M≥12．

Answer 1

（1）若a=1，b=-1，则f（x）=（x²+x-1）e^x
有f'（x）=（2x+1）e^x+（x²+x-1）e^x=e^x（x²+3x）
令f'（x）=0得x₁=-3，x₂=0（1分）
∵当x∈（-∞，-3）时f'（x）＞0，当x∈（-3，0）时f'（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0
∴当x=-3时，函数f（x）有极大值，f(x)极大值＝f(?3)＝

5

e3

，（2分）
当x=0时，函数f（x）有极小值，f（x）_极小值=f（0）=-1（13分）
（2）∵2a+b=-3即b=-2a-3
又f'（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x=e^x[x²+（2+a）x+（a+b）]
∴f'（x）=e^x[x²+（2+a）x+（-3-a）]=e^x（x-1）[x+（3+a）]（5分）
当-3-a=1即a=-4时，f'（x）=e^x（x-1）²≥0
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；（6分）
当-3-a＞1，即a＜-4时，由f'（x）＞0得x＞-3-a或x＜1，
由f'（x）＜0得1＜x＜-3-a；（7分）
当-3-a＜1，即a＞-4时，由f'（x）＞0得x＜-3-a或x＞1，
由f'（x）＜0得-3-a＜x＜1；（8分）
综上得：当a=-4时，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
当a＜-4时，函数f（x）在（-∞，1）和（-3-a，+∞）上单调递增，在（1，-3-a）上单调递减-（9分）
当a＞-4时，函数f（x）在（-∞，-3-a）和（1，+∞）上单调递增，在（-3-a，1）上单调递减．（10分）
（3）根据题意g(x)＝

|f(x)|

ex

=|x²+ax+b|，
∵g（x）在[-1，1]上的最大值为M，
∴g（-1）≤M，g（0）≤M，g（1）≤M
即|1-a+b|≤M，|b|≤M，|1+a+b|≤M（12分）
2=|（1-a+b）+（1+a+b）-2b|≤|1-a+b|+|1+a+b|+|2b|≤4M
∴M≥

1

2

（17分）（其它解法请参照给分）