Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16cm，DC=12cm，AD=21cm．动点P从点D出发，在线段DA上以

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16cm，DC=12cm，AD=21cm．动点P从点D出发，在线段DA上以每秒2cm的速度向点A运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1cm的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）PD=______，BQ=______（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，△QBP≌△APB；（3）是否存在这样的t，使PB平分∠APQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵动点P从点D出发，在线段DA上以每秒2cm的速度向点A运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1cm的速度向点B运动，
∴PD=2t，BQ=16-t．
故答案为：2t，16-t；                               

（2）∵AD∥BC，
∴∠APB=∠QBP．
又∵BP=PB，
∴当BQ=PA时，△QBP≌△APB，即16-t=21-2t，解得t=5；

（3）存在．
理由：∵PB平分∠APQ，
∴∠APB=∠QPB．
∵∠APB=∠QBP，
∴∠QPB=∠QBP，
∴QP=QB．                                       
作QH⊥AD，可得QH=12，PH=t
∴PQ²=12²+t²                                  
由QP²=QB²得12²+t²=（16-t）²                    
解得t=

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．
∴存在这样的t=

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，使PB平分∠APQ．