Question

定义在R上的函数f(x)对任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1，且x>0, f（x）>1求证：（1）f（x）在R上是增

定义在R上的函数f(x)对任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1，且x>0, f（x）>1求证：（1）f（x）在R上是增函数
（2）若不等式f（a^2+a-5)＜2的解集为{a|-3＜a＜2}，求f（2007）的值

Answer 1

（1）设x1，x2∈R，且x1>x2
f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)-1
∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-1
x1-x2>0
∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-1＞0
∴f(x)在R上位增函数
(2)设y=a²+a-5，a∈(-3,2)
-17/4<y<1
函数在R为增函数
∴当为y=1时取得这个区域的最大值
a=-3或2
但取不到，这时就刚好等于2
∴f(1)=2
f(2007)=2007f(1)-2006=4014-2006=2008