Question

这一题为什么不能用无穷小替换？

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Answer 1

这个极限类型是∞-∞未定式。对它的处理是先通分将两项相减的极限转化为分式的极限，再判断分式极限的类型是0比0型，符合洛必达法则的条件，于是极限等于分子的导数与分母的导数比值的极限，整理就变(1+x)分之一的极限的一半，将x=0代入，化简后即得极限为1/2。

Answer 2

可以啊。x→0时，ln(1+x)=x+O(x)=x-x²/2+O(x²)=……，∴x、x-x²/2、…，均是ln(1+x)的等价无穷小量【满足等价无穷小量的定义】。
本题中，取ln(1+x)~x-x²/2即可【一般情况下，出现了“x^n”项时，取前“n+1”项的等价无穷小量替换表达式】。
原式=lim(x→0)[1/x-(x-x²/2)/x²]=1/2。
供参考。

Answer 3

答案:1/2

因为是两式相减，所以不能用。

只能是通分后用洛必达法则两次。

Answer 4

解：可以用无穷小替换：
lim（x→0)[1/x-ln(1+x)/x^2]
=lim（x→0)[1/x-(x-x^2/2+o(x^2)/x^2]
=lim（x→0)[1/2-o(x2)]
=1/2

Answer 5

乘除的因子才能替换，一般加减时不能替换。