Question

一道初三数学难题！！！！！！！急！！！！！！！要详细过程！！！！！！！！写好给5分！！！！！！！

1、如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为 CF^的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H．
（1）求证：AB是半圆O的切线；
（2）若AB=3，BC=4，求BE的长．

Answer 1

解析：（1）连BF
∵AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE
∴AB=AM
∴∠ABM=∠AMB
∵弧EF=弧EC
∴∠FBE=∠EBC
∵∠ACB+∠EBC=∠AMB
∴∠ACB+∠EBC=∠ABM
∵BC为直径
∴∠BFC=90°
∴2∠EBC+∠C＝90°
∴∠ABM+∠EBC=90°
∴AB是半圆O的切线
(2) 连OE交AC于G
易知OE⊥AC
由勾股定理BF=2.4，CF=3.2
易知△COM∽△CBF,且相似比为1/2
由勾股定理知EG=0.8,EM=1.2，MG=0.4
由勾股定理知BM=6根5/5，EM=2根5/5
所以BE=8根5/5

答案仅供参考

Answer 2

（1））∠bad=∠dac，：∠bha=∠ahm，三角形abh全等于ahm，所以ab=am.连接dm，所以三角形bad全等于adm,bd =dm,ad为∠bac的角平分线，d在ad上，bd =dm,所以∠dma=∠abd=90度。又因为ob为半径所以是切线。
（2）连EO
BD=EO
所以BE=2根号2

Answer 3

1，连接EO，交CF于G点。
因为AD平分角BAC,AD垂直于BE,所以三角形ABC为等腰三角形，所以角ABM=角AMB，而角EMC=角AMB,所以角ABM=角EMC,又因为弧CE=弧EF,所以OE垂直于CF,即角EOC+角ACB=90
度，因为角EOC=2角EBC(同弧所对圆心角等于圆周角两倍）,而角EMC=角EBC+角ACB，所以
角ABC=角ABE+角EBC=角EMC+角EBC=角EBC+角ACB+角EBC=角EOC+角ACB=90度，所以就证到啦。
2，再连接OA,CE。用上问的OE垂直于CF。BC为直径，所以角CEB=90°.
因为S三角形AOC=0.5×OG×AC＝0.5×OC×AB,求的OG=1.2,所以CG=1.6,EG=0.8,
所以CE=0.8根号5，所以BE=1.6根号5，以上CG,CE,BE用勾股定理求。