Question

一道数学题，求详解。

设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝an2＋a1，
（1）当a∈（－∞，－2）时，求证： M；
（2）当a∈（0， ］时，求证：a∈M；
（3）当a∈（ ，＋∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）如果a＜-2，则|a1|=|a|＞2，a∉M．
（2）当 0＜a≤1/4时， |an|≤1/2（∀n≥1）．
事实上，〔i〕当n=1时， |a1|=|a|≤1/2．
设n=k-1时成立（k≥2为某整数），
则〔ii〕对n=k， |ak|≤|ak-1|²+a≤(1/2)2+1/4=1/2．
由归纳假设，对任意n∈N*，|an|≤ 1/2＜2，所以a∈M．
（3）当 a＞14时，a∉M．证明如下：
对于任意n≥1， an＞a＞1/4，且an+1=an²+a．
对于任意n≥1， an+1-an=an²-an+a=(an-1/2)²+a-1/4≥a-1/4，
则 an+1-an≥a-1/4．
所以， an+1-a=an+1-a1≥n(a-1/4)．
当 n＞(2-a)/(a-1/4)时， an+1≥n(a-1/4)+a＞2-a+a=2，
即an+1＞2，因此a∉M．

Answer 2

设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝an2＋a1，
（1）当a∈（－∞，－2）时，求证： M；
（2）当a∈（0， ］时，求证：a∈M；
（3）当a∈（ ，＋∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．

：（1）如果a＜-2，则|a1|=|a|＞2，a属于M．
（2）当 时， （∀n≥1）．
事实上，〔i〕当n=1时， ．
设n=k-1时成立（k≥2为某整数），
则〔ii〕对n=k， ．
由归纳假设，对任意n∈N*，|an|≤ ＜2，所以a∈M．（6分）
（3）当 时，a∉M．证明如下：
对于任意n≥1， ，且an+1=an2+a．
对于任意n≥1， ，
则 ．
所以， ．
当 时， ，
即an+1＞2，因此a∉M．