一道数学题,求详解。

设数列{an}满足a1=a,an+1=an2+a1,(1)当a∈(-∞,-2)时,求证:M;(2)当a∈(0,]时,求证:a∈M;(3)当a∈(,+∞)时,判断元素a与集... 设数列{an}满足a1=a,an+1=an2+a1,
(1)当a∈(-∞,-2)时,求证: M;
(2)当a∈(0, ]时,求证:a∈M;
(3)当a∈( ,+∞)时,判断元素a与集合M的关系,并证明你的结论.
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使命号
2012-01-20 · TA获得超过9064个赞
知道小有建树答主
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证明:(1)如果a<-2,则|a1|=|a|>2,a∉M.
(2)当 0<a≤1/4时, |an|≤1/2(∀n≥1).
事实上,〔i〕当n=1时, |a1|=|a|≤1/2.
设n=k-1时成立(k≥2为某整数),
则〔ii〕对n=k, |ak|≤|ak-1|²+a≤(1/2)2+1/4=1/2.
由归纳假设,对任意n∈N*,|an|≤ 1/2<2,所以a∈M.
(3)当 a>14时,a∉M.证明如下:
对于任意n≥1, an>a>1/4,且an+1=an²+a.
对于任意n≥1, an+1-an=an²-an+a=(an-1/2)²+a-1/4≥a-1/4,
则 an+1-an≥a-1/4.
所以, an+1-a=an+1-a1≥n(a-1/4).
当 n>(2-a)/(a-1/4)时, an+1≥n(a-1/4)+a>2-a+a=2,
即an+1>2,因此a∉M.
丙星晴h
2012-01-19 · TA获得超过3.2万个赞
知道大有可为答主
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设数列{an}满足a1=a,an+1=an2+a1,
(1)当a∈(-∞,-2)时,求证: M;
(2)当a∈(0, ]时,求证:a∈M;
(3)当a∈( ,+∞)时,判断元素a与集合M的关系,并证明你的结论.

:(1)如果a<-2,则|a1|=|a|>2,a属于M.
(2)当 时, (∀n≥1).
事实上,〔i〕当n=1时, .
设n=k-1时成立(k≥2为某整数),
则〔ii〕对n=k, .
由归纳假设,对任意n∈N*,|an|≤ <2,所以a∈M.(6分)
(3)当 时,a∉M.证明如下:
对于任意n≥1, ,且an+1=an2+a.
对于任意n≥1, ,
则 .
所以, .
当 时, ,
即an+1>2,因此a∉M.
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