Question

奇偶性问题

已知函数f（x）=|x+a|-|x-a|(a≠0），h(x)=-x^2+x(x>0),x^2+x(x<0),则f(x),h(x)的奇偶性顺序为什么都是奇函数

Answer 1

f(x)=|x+a|-|x-a|
定义域为R
f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-f(x)
故为奇函数.

h(x)=-x^2+x,(x>0)
定义域不关于原点对称,则函数非奇非偶.

g(x)=x^2+x
定义域为R
g(-x)=x^2-x不=-g(x)或g(x)
故非奇非偶

Answer 2

用定义验证一下就行了。
f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x)，所以 f(x)是奇函数。
分段函数的奇偶性要分段验证。
当x>0时，-x<0，所以 h(-x)=(-x)²-x=x²-x=-(-x²+x)=-h(x)
当x<0时，-x>0，所以 h(-x)=-(-x)²-x=-x²-x=-(x²+x)=-h(x)
从而 h(x)也是奇函数。

Answer 3

f（-x）=|-x+a|-|-x-a|
=|a-x|-|x+a|
=|x-a|-|x+a|
=-[|x+a|-|x-a|]
=-f(x) 奇函数

h(-x)=(-x)^2+(-x) (-x<0,x>0)
=x^2-x
=-(-x^2+x)
=-h(x) (x>0)奇函数