Question

求微分方程xf'(x)+f(x)-xf(x)-e^2x=0

Answer 1

解:∵微分方程为xf'(x)+f(x)-xf(x)-e^2x=0

化为xy'+(1-x)y=e^2x

∴有y'xe^(-x)+y(1-x)e^(-x)=e^x，

[yxe^(-x)]'=e^x，yxe^(-x)=e^x+c

(c为任意常数) ∴方程的通解为

y=(e^2x+ce^x)/x

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

简写为: xy'+y-xy-e^2x=0
(xy)'-xy-e^2x=0
令xy=z
z'-z-e^2x=0
这是一阶线性微分方程. P(x)=-1, Q(x)=e^2x
利用通解公式就能求出z即xy.

Answer 4

p(x) =(1-x)/x
∫ p(x) dx = ∫ (1-x)/x dx = ∫ [ 1/x -1] dx = ln|x| -x +C
e^[∫ p(x) dx] = xe^(-x)
xy'+y-xy-e^(2x) =0
xy'+y-xy =e^(2x)
y'+[(1-x)/x]y =e^(2x)/x
两边 乘以 xe^(-x)
xe^(-x) { y'+[(1-x)/x]y} =[e^(2x)/x].xe^(-x)
d/dx [ xe^(-x).y] = e^x
xe^(-x).y =∫ e^x dx
= e^x +C
y= [e^x +C]/[xe^(-x)]

Answer 5

令u=xf(x)
整理微分方程可得u'－u=e^2x
得u=Ce^x+e^2x
故f(x)=(Ce^x+e^2x)/x