Question

函数y=sinx/cosx+2的最大值是

Answer 1

y=sinx/(cosx+2)
ycosx+2y=sinx
sinx-ycosx=2y
√(1+y²)sin(x+φ)=2y ，其中，tanφ=-y 注：这里用了公式 asinx+bcosx=√(a²+y²)sin(x+φ)
sin(x+φ)=2y/√(1+y²)
由于 |sin(x+φ)|≤1，所以 |2y/√(1+y²)|≤1
4y²≤1+y²，y²≤1/3，
-√3/3≤y≤√3/3
从而 最大值为√3/3
当然，求导也是直接的方法。

追问

求导怎么求的呢？而且，tanφ应该=-1/y啊

追答

y‘=[(sinx)'(cosx+2)-sinx(cosx+2)']/(cosx+2)²
=[cosx(cosx+2)-sinx(-sinx)]/(cosx+2)²
=(cos²x+sin²x+2cosx)/(cosx+2)²
=(1+2cosx)/(cosx+2)²
令 1+2cosx=0，得cosx=-1/2，从而 sinx=±√3/2，
代入y=sinx/(cosx+2)，得到极大值和极小值。

Answer 2

原函数=tanx+2(x≠kπ，k属于Z)
由于tanx无最大值，所以函数y=sinx/cosx+2无最大值。
换句话说，函数y=sinx/cosx+2最大值为∞

Answer 3

无穷大