Question

一道高中立体几何题，需要过程，高手帮帮忙，挺急的。

如图，四面体PABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，PA=PB=2，E为AB中点，<PE ， CB>=arctan3，
（1）求四面体PABC体积；（2）求向量CE与向量PA的夹角的余弦值

Answer 1

取AC中点F，连结EF、FP，
AP=CP=2，设PC=x,
BC=√（4+x^2),
AC=BC=√（4+x^2),
EF是△ABC中位线，
EF//BC，EF=BC/2=（1/2）√（4+x^2),
则〈FEP就是PE和BC所成角，
tan<FEP=3,
sec<FEP=√（9+1）=√10，
cos<FEP=√10/10，
PF=AC/2,(RT△斜边中线等于斜边的一半），
PF=（1/2）√（4+x^2)
△APB是等腰RT△，
AB=2√2，
PE=AB/2=√2，
在△FEP中，根据余弦定理，
PF^2=PE^2+EF^2-2PE*EF*cos<PEF,
（4+x^2)/4=(4+x^2)/4+2-2*√（4+x^2)/2*√2*√10/10，
x=4,
PC=4,
不用余弦定理，则可作FH ⊥PE，垂足H，
∵PF=EF，
∴EH=PE/2=√2/2，
FH/HE=tan<FEH=3,
FH=3√2/2，
根据勾股定理，EF=√5，，
BC=2EF=2√5，
PC^2=BC^2-PB^2=20-4=14,
∴PC=4，
∴VC-APB=（2*2/2）*4/3=8/3。
以P为原点，PA、PB、PC为X、Y、Z轴建立空间坐标系，
P（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，4），
E（1，1，0），
向量PA=（2，0，0），向量CE=（1，1，-4），
向量PA·CE=2，
|PA|=2，|CE|=√（1+1+16）=3√2，
设向量CE与向量PA的夹角θ，
cosθ=PA·CE/(|CE|*|PA|)=√2/6，
∴向量CE与向量PA的夹角的余弦值为√2/6。

Answer 2

典型建系题啊~~~建系就可以啦~~~直角也有……