Question

设函数f（x）=x|x-a|+b,a,b∈R （1）当a=1，b=-1/4，求函数f（x）的零点

（2）若函数f（x）在[0，1]上存在零点，求实数b的取值范围。

Answer 1

（1）f(x)=x|x-1|-1/4
当x>=1时，f(x)=x^2-x-1/4=(x-1/2)^2-1/2=0
x=(√2+1)/2
当x<1时，f(x)=-x^2+x-1/4=-(x-1/2)^2=0
x=1/2
所以f(x)零点为x=(√2+1)/2和x=1/2
（2）根据题意，f(x)是函数g(x)=x|x|向右平移a个单位，向上平移b个单位后所得
因为g(x)=x|x|是单调递增函数，所以f(x)也是单调递增函数，即f(x)有且只有一个零点
根据题意，f(x)在[0,1]上存在零点，则应同时满足两个条件：f(0)<=0且f(1)>=0
①f(0)=b<=0
②f(1)=|1-a|+b>=0
b>=-|1-a|
综上所述，-|1-a|<=b<=0