Question

已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ

已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN．（1）如图l，求证：PC=AN；（2） 如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长．

Answer 1

（1）证明见解析（2）

解：（1）证明：∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=90°。 ∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，∴∠PAQ=∠AMN。 ∵PQ⊥AB  MN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=90°。∴AQ=MN。∴△AQP≌△MNA（ASA）。 ∴AN=PQ，AM=AP。∴∠AMB=∠APM。 ∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠PBC。 ∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=PC（角平分线的性质）。∴PC=AN。 （2）∵NP=2  PC=3，∴由（1）知PC=AN=3。∴AP=NC=5，AC=8。 ∴AM=AP=5。∴ 。 ∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=90°，∴∠ABC=∠MAN。 ∴ 。 ∵ ，∴BC=6。 ∵NE∥KC，∴∠PEN=∠PKC。 又∵∠ENP=∠KCP，∴△PNE∽△PCK。∴ 。 ∵CK：CF=2：3，设CK=2k，则CF=3k。 ∴ ， 。 过N作NT∥EF交CF于T， 则四边形NTFE是平行四边形。 ∴NE=TF= ，∴CT=CF－TF=3k－ 。 ∵EF⊥PM，∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。 ∴∠BPC=∠BFH。 ∵EF∥NT，∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。 ∴ 。 ∴ ， 。 ∴CT=  。∴  。∴CK=2× =3，BK=BC－CK=3。 ∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC。 ∴ 。∴tan∠BDK=1。 过K作KG⊥BD于G。 ∵tan∠BDK=1，tan∠ABC= ，∴设GK=4n，则BG=3n，GD=4n。 ∴BK=5n=3，∴n= 。∴BD=4n+3n=7n= 。 ∵ ，AQ=4，∴BQ=AB－AQ=6。 ∴DQ=BQ－BD=6－ = 。 （1）确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN。 （2）由已知条件，求出线段KC的长度，从而确定△PKC是等腰直角三角形；然后在△BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。