Question

（1）在图1中，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．∠ABC=∠ADC=90°，则能得如下两个结论：①DC=BC；②AD+AB

（1）在图1中，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．∠ABC=∠ADC=90°，则能得如下两个结论：①DC=BC；②AD+AB=AC．请你证明结论②；（2）在图2中，把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）如图1 ∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN， ∴∠DAC=∠BAC=60°， ∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠DCA=∠BCA=30°， ∵在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°， ∴AC=2AD，AC=2AB， ∴AD+AB=AC． （2）判断是：（1）中的结论①DC=BC；②AD+AB=AC都成立． 理由如下： 如下图，在AN上截取AE=AC，连接CE， ∵∠BAC=60°， ∴△CAE为等边三角形， ∴AC=CE，∠AEC=60°， ∵∠DAC=60°， ∴∠DAC=∠AEC ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠ADC=∠EBC， ∴△ADC≌△EBC， ∴DC=BC，DA=BE， ∴AD+AB=AB+BE=AE， ∴AD+AB=AC．