如图，圆柱 内有一个三棱柱 ，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径。 （Ⅰ）证明：平
如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径。（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）设AB=，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为。...
如图，圆柱 内有一个三棱柱 ，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径。 （Ⅰ）证明：平面 平面 ；（Ⅱ）设AB= ，在圆柱 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱 内的概率为 。（i）当点C在圆周上运动时，求 的最大值；（ii）记平面 与平面 所成的角为 ，当 取最大值时，求 的值。
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| （Ⅰ）因为
  平面ABC， 平面ABC，所以  ，因为AB是圆O直径，所以  ，又  ，所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 。（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为  ，则AB= ，故三棱柱 的体积为 = ，又因为 ，所以  = ，当且仅当 时等号成立，从而  ，而圆柱的体积 ，故  = 当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最大值是 。（ii）由（i）可知， 取最大值时， ，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系
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