Question

如图所示：四棱锥P-ABCD底面一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点.（1）证明

如图所示：四棱锥P-ABCD底面一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点.（1）证明：EB∥平面PAD；（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC；（3）当PA=AD=DC时，求二面角E-BD-C的正切值.

Answer 1

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

（1）取PD中点Q，连EQ、AQ，则∵QE∥CD，CD∥AB，∴QE∥AB， 又 ∥AQ 又 ∥平面PAD…3分 （2）PA⊥底面ABCD ∴CD⊥PA，又CD⊥AD ∴CD⊥平面PAD  ∴AQ⊥CD若PA=AD， ∴Q为PD中点，∴AQ⊥PD ∴AQ⊥平面PCD ∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PCD…………………7分 （3）连结AC，取AC的中点G，连EG，EG∥PA， ∵PA⊥平面ABCD，∴EC⊥平面ABCD，过G作GH⊥BD，连EH，则EH⊥BD， ∴∠EHG是二面角E—BD—C的平面角. 设AB=1，则PA="AD=DC=2AB=2." ∴ 又    ∽△ABG，  ∴BG∥AD，∠GBH=∠ADB，∴△ABD∽△HBG. .