Question

设Sn是数列{an}的前n项和，Sn≠0，a1=1，an+1+2SnSn+1=0（Ⅰ）求证数列{1Sn}是等差数列，并求{an}的通项

设Sn是数列{an}的前n项和，Sn≠0，a1=1，an+1+2SnSn+1=0（Ⅰ）求证数列{1Sn}是等差数列，并求{an}的通项；（Ⅱ）记bn=Sn2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）∵a_n+1+2S_nS_n+1=0，
∴S_n+1-S_n+2S_nS_n+1=0，
两边同除以S_nS_n+1，并整理得，

1

Sn+1

?

1

Sn

＝2，
∴数列{

1

Sn

}是等差数列，其公差为2，首项为

1

S1

=1，
∴

1

Sn

＝1+2(n?1)＝2n?1，
∴Sn＝

1

2n?1

，
∴a_n=S_n-S_n-1=

1

2n?1

?

1

2n?3

=-

2

(2n?1)(2n?3)

，
又a₁=1，
∴an＝

1，n＝1 ? 2 (2n?1)(2n?3) ，(n≥2，n∈N)

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn＝

Sn

2n+1

＝

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)，
∴Tn＝

1

2

[(1?

1

3

)+(

1

3

?

1

5

)+(

1

5

?

1

7

)+…+(

1

2n?1

-