Question

运动探究如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=10，CP⊥AB于P，顶点C从O点出发沿x轴正方向移动，顶点A随

运动探究如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=10，CP⊥AB于P，顶点C从O点出发沿x轴正方向移动，顶点A随之从y轴正半轴上一点移动到点O为止．（1）若点P的坐标为（m，n），求证：m=n；（2）若OC=6，求点P的坐标；（3）填空：在点C移动的过程中，点P也随之移动，则点P运动的总路径长为20-10220-102．

Answer 1

解答：解：（1）过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∵∠ACB=90°，BC=AC=10，CP⊥AB，
∴AP=BP=CP，
又∵∠PMC=∠PNA，∠CPM=∠APN=90°-∠CPN，
∴△PCM≌△PAN，
∴PM=PN，即m=n；

（2）设CM=x，则PM=x+6，
∵BC=AC=10，∴AB=10

2

，
∴PC=5

2

，
在Rt△PCM中，PC²=PM²+CM²，
即（5

2

）²=（x+6）²+x²，
解得x=1或-7（舍去负数）
∴CM=1，PM=7，
∴点P的坐标（7，7）；

（3）如图，当点A与O重合时，点P到达最高点，即点Q；当点C与O重合时，点P到达最低点，即点P；
设CE=x，则AE=10-x，在直角三角形ADE中，
由勾股定理得2（10-x）²=100，
解得x=10-5

2

，
则PQ=10-5

2

，
故点P运动的总路径长为20-10

2

．
故答案为20-10

2

．