Question

高等数学，如图定积分如何求解？

Answer 1

如图所示：

这个绝对值要看角度的情况分析。

追问

如果我将r换元成Rcosa的话，怎么求积分上下限呢？

还在么

追答

咦这里不是已经代入化简了吗

追问

对的。我有一种思路就是刚开始的时候做一个三角代换，把r换成Rcosa，但是在求上下限的时候符号有问题。能否帮我解解惑呀，谢谢啦

追答

你看到图片吗，我先把原函数计算出来后再代入积分限，比较清晰

追问

了解，谢谢！

Answer 2

追问

我有一种思路就是刚开始的时候做一个三角代换，把r换成Rcosa，但是在求上下限的时候符号有问题。能否帮我解解惑呀，谢谢啦

追答

很少会走这个方法，就像你说的可能会出现符号问题，所以建议不深究

追问

了解，谢谢！

Answer 3

∫(0->Rcosθ) r.√(R^2-r^2) dr
=-(1/2)∫(0->Rcosθ)√(R^2-r^2) d(R^2-r^2)
=-(1/3) [ (R^2-r^2)^(3/2)] |(0->Rcosθ)
=(1/3) [ R - R(1-(cosθ)^2)^(3/2) ]
=(1/3)R.[ 1 - (sinθ)^3]

追问

我有一种思路就是刚开始的时候做一个三角代换，把r换成Rcosa，但是在求上下限的时候符号有问题。能否帮我解解惑呀，谢谢啦