Question

已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到E，使CE=CD，（1）（4分）不添加任何辅助线

已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到E，使CE=CD，（1）（4分）不添加任何辅助线的情况下，请你至少写出两个与CD有关且形式不同的结论；（2）（6分）问：BD=DE成立吗？若成立，请你写出相应的理由．

Answer 1

（1）∵由BD是AC边上的中线， ∴CD= 1 2 AC； 又△ABC是等边三角形，CE=CD， ∴CD=CE= 1 2 BC， ∴BC=2CD， ∴2CD+CD=BE， CD= 1 3 BE； 即与CD有关且形式不同的结论为：CD= 1 2 AC，CD= 1 3 BE； （2）BD=DE成立， ∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线， ∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE=12∠ABC=30°． ∵CD=CE， ∴∠CDE=∠E． ∵∠ACB=60°，且∠ACB为△CDE的外角， ∴∠CDE+∠E=60°． ∴∠CDE=∠E=30°， ∴∠DBE=∠DEB=30°， ∴BD=DE．