Question

如图，以AB为直径的半圆O交AC于点D，且点D为AC的中点，DE⊥BC于点E，AE交半圆O于点F，BF的延长线交DE于点

如图，以AB为直径的半圆O交AC于点D，且点D为AC的中点，DE⊥BC于点E，AE交半圆O于点F，BF的延长线交DE于点G．（1）求证：DE为半圆O的切线；（2）若GE=1，BF= 3 2 ，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，如图， ∵AB为半圆O的直径，D为AC的中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD ∥ BC， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥DO， 又∵点D在圆上， ∴DE为半圆O的切线； （2）∵AB为半圆O的直径， ∴∠AFB=90°， 而DE⊥BC， ∴∠GEB=∠GFE=90°， ∵∠BGE=∠EGF， ∴△BGE ∽ △EGF ∴ GE GB = GF GE ， ∴GE 2 =GF?GB=GF（GF+BF） ∵GE=1，BF= 3 2 ， ∴GF= 1 2 ， 在Rt△EGF中，EF= G E 2 -G F 2 = 3 2 ．