Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝

如图，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F． （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过(1)中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长最小，请直接写出P点的坐标．

Answer 1

（1） ；（2） ；（3）（1， ）．

试题分析：（1）先根据题意得到点A、B、C的坐标，再根据待定系数法即可求得结果； （2）先把（1）中的函数关系式配方为顶点式，即可求得顶点坐标，过G作GH⊥AB，垂足为H．即可得到AH＝BH＝1，GH＝ －2＝ ．由EA⊥AB，GH⊥AB，可得GH是△BEA的中位线，从而可得EA＝3GH＝ ．过B作BM⊥OC，垂足为M．MB＝OA＝AB．由∠EBF＝∠ABM＝90°，可得∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF．即可证得Rt△EBA≌Rt△FBM．再根据全等三角形的性质即可求得结果； （3）要使四边形BCPQ的周长最小，可将点C向上平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C 1 ，得点C 1 的坐标为（－1，1）．可求出直线BC 1 的解析式为 ．再求的直线 与对称轴x＝1的交点即为点Q，坐标为（1， ）．从而得到结果． （1）由题意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）. 设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax 2 +bx+2. 则 解得    ∴ ； （2）由 ＝ ． ∴顶点坐标为G（1， ）． 过G作GH⊥AB，垂足为H． 则AH＝BH＝1，GH＝ －2＝ ． ∵EA⊥AB，GH⊥AB， ∴EA∥GH． ∴GH是△BEA的中位线 ． ∴EA＝3GH＝ ． 过B作BM⊥OC，垂足为M ． 则MB＝OA＝AB． ∵∠EBF＝∠ABM＝90°， ∴∠EBA＝∠FBM＝90 ° －∠ABF． ∴Rt△EBA≌Rt△FBM． ∴FM＝EA＝ ． ∵CM＝OC－OM＝3－2＝1， ∴CF＝FM＋CM＝ ； （3）要使四边形BCPQ的周长最小，可将点C向上平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C 1 ，得点C 1 的坐标为（－1，1）．可求出直线BC 1 的解析式为 ．  直线 与对称轴x＝1的交点即为点Q，坐标为（1， ）．点P的坐标为（1， ）． 点评：二次函数的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般压轴题形式出现，难度较大.