Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的角平分线AD、BE交于I，AD交BC于D，BE交AC于E，若△AIB的面积为6

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的角平分线AD、BE交于I，AD交BC于D，BE交AC于E，若△AIB的面积为6，则四边形ABDE的面积为______．

Answer 1

在AB上截取AF=AE，BG=BD，连接IF、IG，过点E作EM⊥AD于点M，过点G作GN⊥IF于点N，
在△AIE和△AIF中，

AE＝AF ∠EAI＝∠FAI AI＝AI

，
∴△AIE≌△AIF（SAS），
同理可得：△BID≌△BIG，
∵点I是角平分线AD、BE的交点，
∴点I是△ABC的内心，
∴∠AIB=90°+

1

2

∠ABC=135°，
∴∠AIE=∠BID=180°-∠AIB=45°，
∴∠AIF=∠AIE=∠BID=∠BIG=45°，
∴∠FIG=135°-45°-45°=45°，
∴S_△EID=

1

2

ID?EM=

1

2

EI?IDsin45°，
S_△FIG=

1

2

IF?GN=

1

2

IF?IGsin45°，
∴S_△EID=S_△FIG，
∴S_{四边形ABDE}=S_△EID+S_△AIE+S_△AIB+S_△BID
=S_△FIG+S_△AIF+S_△BIG+S_△AIB
=2S_△AIB
=12．
故答案为：12．

Answer 2

在AB上截取AF=AE，BG=BD，连接IF、IG，过点E作EM⊥AD于点M，过点G作GN⊥IF于点N，
在△AIE和△AIF中，
AE＝AF
∠EAI＝∠FAI
AI＝AI
，

∴△AIE≌△AIF（SAS），
同理可得：△BID≌△BIG，
∵点I是角平分线AD、BE的交点，
∴点I是△ABC的内心，
∴∠AIB=90°+
1
2
∠ABC=135°，
∴∠AIE=∠BID=180°-∠AIB=45°，
∴∠AIF=∠AIE=∠BID=∠BIG=45°，
∴∠FIG=135°-45°-45°=45°，
∴S△EID=
1
2
ID?EM=
1
2
EI?IDsin45°，
S△FIG=
1
2
IF?GN=
1
2
IF?IGsin45°，
∴S△EID=S△FIG，
∴S四边形ABDE=S△EID+S△AIE+S△AIB+S△BID
=S△FIG+S△AIF+S△BIG+S△AIB
=2S△AIB
=12．
故答案为：12．