Question

如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥AE于F，直线PF分别交AB、CD

如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥AE于F，直线PF分别交AB、CD于G、H，（1）求证：DH=AG+BE；（2）若BE=1，AB=3，求PE的长．

Answer 1

（1）证明：在DC上截取DM=BE，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠ADM=90°，AB=AD，
∵在△ABE和△ADM中

AD＝AB ∠ADM＝∠ABE DM＝BE

，
∴△ABE≌ADM，
∴∠1=∠2，
∴∠1+∠BAM=∠2+∠BAM=90°，即AM⊥AE．
又∵PF⊥AE于F，
∴AM∥FH，
又∵AB∥CD，
∴四边形AGHM是平行四边形，
∴AG=MH，
∵DH=DM+MH，
∴DH=AG+BE．
     
（2）解：连接AP．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
∵在△ABP和△CBP中

AB＝BC ∠ABP＝∠CBP BP＝BP

∴△ABP≌△CBP，
∴PA=PC，∠3=∠4，
∵PE=PC，
∴PA=PE，
∵PE=PC，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
又∵∠ANP=∠ENB，
∴∠3+∠ANP=∠5+∠ENB=90°，
∴AP⊥PE，即△APE是等腰直角三角形，
∵BE=1，AB=3，
∴AE=

12+32

=

10

，
∴PE=

AE

2

=