Question

已知抛物线C：x2=2my（m＞0）和直线l：y=kx-m没有公共点（其中k、m为常数），动点P是直线l上的任意一点，

已知抛物线C：x2=2my（m＞0）和直线l：y=kx-m没有公共点（其中k、m为常数），动点P是直线l上的任意一点，过P点引抛物线C的两条切线，切点分别为M、N，且直线MN恒过点Q（k，1）．（1）求抛物线C的方程；（2）已知O点为原点，连接PQ交抛物线C于A、B两点，证明：S△OAP?S△OBQ=S△OAQ?S△OBP．

Answer 1

解：（1）如图，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由y＝

x2

2m

，得y′＝

x

m

∴PM的斜率为

x1

m

PM的方程为y＝

x1

m

x?y1
同理得PN：y＝

x2

m

x?y2
设P（x₀，y₀）代入上式得

y0＝ x1 m x0?y1 y0＝ x2 m x0?y2

，
即（x₁，y₁），（x₂，y₂）满足方程y0＝

x

m

x0?y                           
故MN的方程为y＝

x0

m

x?y0＝

x0

m

x?(kx0?m)
上式可化为y?m＝

x0

m

(x?mk)，过交点（mk，m）
∵MN过交点Q（k，1），
∴mk=k，m=1
∴C的方程为x²=2y
（2）要证S_△OAP?S_△OBQ=S_△OAQ?S_△OBP，
即证

|PA|

|PB|

＝

|QA|

|QB|

设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
则