Question

如图甲所示，两平行金属板A、B的板长l=0.20m，板间距d=0.20m，两金属板间加如图乙所示的交变电压，并在两

如图甲所示，两平行金属板A、B的板长l=0.20m，板间距d=0.20m，两金属板间加如图乙所示的交变电压，并在两板间形成交变的电场，忽略其边缘效应．在金属板右侧有一方向垂直于纸面向里的匀强磁场．其左右宽度D=0.40m，上下范围足够大，边界MN和PQ均与金属板垂直．匀强磁场的磁感应强度B=1.0×10-2T．现从t=0开始，从两极板左端的中点O处以每秒1000个的速率不停地释放出某种带正电的粒子，这些粒子均以v0=2.0×105m/s的速度沿两板间的中线OO′射入电场，已知带电粒子的比荷qm=1.0×108C/kg，粒子的重力和粒子间的相互作用都忽略不计，在粒子通过电场区域的极短时间内极板间的电压可以看作不变，sin37°=0.6，cos37°=0.8．问：（1）t=0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离是多少？（2）当AB板间电压满足什么条件时，带电粒子可以进入磁场？在电压变化的第一个周期内有多少个带电的粒子能进入磁场？（3）何时由O点进入的带电粒子在磁场中运动的时间最长？最长时间为多少？（π≈3）

Answer 1

（1）t=0时刻电压为零，粒子匀速通过极板
由牛顿第二定律Bqv₀=

m v 2 0

r

得：r=

mv0

Bq

=0.2m＜D   
所以出射点到入射点的距离为S=2r=0.4m；
（2）考虑临界情况：粒子刚好不能射出电场
对类平抛过程：y=

1

2

at²=

d

2

，
a=

U0q

dm

，
l=v₀t  
联立解得U₀=

d2m v 2 0

ql2

=400V
当|u_AB|＜U₀时，粒子可以射出电场
第一个周期内能够出射的粒子数为n=

400

500

×1000×T=3200个；
（3）当粒子向下偏转，出射后恰好与磁场右边界相切时，粒子在磁场中的圆心角最大，时间最长．
设粒子在电场中的偏转角为θ：则

vy

v0

=tanθ，
v=

v 2 0 + v 2 y

磁场中圆周运动：Bqv=

mv2

r

几何关系：r+rsinθ=D：
   
联立得：

qBD

mv0

=（1+sinθ）

1+tan2θ

=

1+sinθ

cosθ

代入数据解得：sinθ=0.6 
 即θ=37°
又因为v_y=

Uq

dm

?t=v₀tan37°，
l=v₀t    
解得：U=300V