Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足bn=log2（an+1），a1=1且对于任意n≥2，n∈N+有an=2an-1+1．（1

已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足bn=log2（an+1），a1=1且对于任意n≥2，n∈N+有an=2an-1+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵a_n=2a_n-1+1，∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴an+1＝2n，∴an＝2n?1．…（4分）
（2）∵b_n=log₂（a_n+1），∴b_n=n，
cn＝an?bn＝n(2n?1)＝n?2n?n…（5分）
使用分组求和：T'=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
2T'=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
两式相减：-T'=2+2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=-2（1-2ⁿ）-n?2ⁿ⁺¹
∴T'=2+（n-1）?2ⁿ⁺¹…（10分）
T″＝1+2+3+…+n＝

(1+n)n

2

…（11分）
∴数列{c_n}的前n项和T_n=T＝T′?T″＝2+(n?1)?2n+1?

n(1+n)

2

．…（12分）